מתמטריק
תרגול נוסף – חקירת פונקציהחקירת פונקציות 571 · שיעור 96
חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571

שיעור 96: תרגול נוסף – חקירת פונקציה

תרגילים נוספים
1📋 שלבי החקירה
2🔷 תרגיל 1
3✍️ פתרון תרגיל 1
4🔷 תרגיל 2
5✍️ פתרון תרגיל 2
6🔷 תרגיל 3
7✍️ פתרון תרגיל 3
8🔷 תרגיל 4
📋 שלבי החקירה
1. תחום הגדרה ואסימפטוטות   2. זוגיות (אם מבקשים)   3. חיתוך עם הצירים   4. קיצון בטבלה של f′   5. עלייה וירידה   6. פיתול וקעירות בטבלה של f″   7. סרטוט   8. שאלות מהגרף
🔷 תרגיל 1
תרגיל 1: נתונה הפונקציה f(x) = x³ − 3x². ענו על הסעיפים:
א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים.
ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.
ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה.
ד. מצאו את נקודת הפיתול ואת תחומי הקעירות כלפי מעלה ∪ וכלפי מטה ∩.
ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
ו. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודת הפיתול.
✍️ פתרון תרגיל 1
סעיף א: תחום הגדרה וחיתוך עם הצירים.
פולינום ← כל x.
עם ציר y: f(0) = 0 ← (0 , 0)
עם ציר x:
x³ − 3x² = 0
x²(x − 3) = 0
x = 0 או x = 3
✅ כל x ; (0 , 0) , (3 , 0)
✍️ פתרון תרגיל 1
סעיף ב: נקודות קיצון וסוגן.
📐 נגזרת של חזקה:
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
ונגזרת של מספר לבד היא 0
f′(x) = 3x² − 6x = 0
3x(x − 2) = 0
x = 0 או x = 2
f(0) = 0 ← (0 , 0)
f(2) = 8 − 12 = −4 ← (2 , −4)
f′(−1) = 3 + 6 = 9 > 0
✍️ פתרון תרגיל 1 · המשך
f′(−1) = 3 + 6 = 9 > 0
f′(1) = 3 − 6 = −3 < 0
f′(3) = 27 − 18 = 9 > 0
x−10123
f′(x)+0−0+
f(x)↗max↘min↗
✅ (0 , 0) מקסימום , (2 , −4) מינימום
✍️ פתרון תרגיל 1
סעיף ג: תחומי עלייה וירידה.
לפי הטבלה:
✅ עלייה: x < 0 , x > 2
ירידה: 0 < x < 2
✍️ פתרון תרגיל 1
סעיף ד: נקודת פיתול ותחומי קעירות.
📐 נקודת פיתול:
f″(x) = 0 ← נקודה חשודה
f″ > 0 ← קעורה כלפי מעלה ∪
f″ < 0 ← קעורה כלפי מטה ∩
פיתול רק כשהקעירות מתחלפת
גוזרים פעם שנייה:
f″(x) = 6x − 6 = 0
6x = 6 ← x = 1
מציבים ב־f″ לפני ואחרי:
f″(0) = −6 < 0 ← ∩
f″(2) = 12 − 6 = 6 > 0 ← ∪
✍️ פתרון תרגיל 1 · המשך
f″(2) = 12 − 6 = 6 > 0 ← ∪
x012
f″(x)−0+
f(x)∩פיתול∪
הקעירות מתחלפת ← נקודת פיתול. מציבים בפונקציה המקורית:
f(1) = 1 − 3 = −2
✅ פיתול (1 , −2)
∪ : x > 1 ; ∩ : x < 1
✍️ פתרון תרגיל 1
סעיף ה: סרטוט.
xy(0,0)(3,0)(2,−4)(1,−2)
✍️ פתרון תרגיל 1
סעיף ו: משוואת המשיק בנקודת הפיתול.
נקודת ההשקה: (1 , −2)
📐 שיפוע המשיק:
השיפוע של המשיק בנקודה שווה לנגזרת בנקודה: m = f′(x₁)
m = f′(1) = 3 − 6 = −3
📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע:
y − y₁ = m(x − x₁)
y − (−2) = −3(x − 1)
y + 2 = −3x + 3
y = −3x + 1
✍️ פתרון תרגיל 1 · המשך
y = −3x + 1
✅ y = −3x + 1
🔷 תרגיל 2
תרגיל 2: נתונה הפונקציה f(x) = 3x⁴ − 4x³. ענו על הסעיפים:
א. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.
ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה.
ד. מצאו את נקודות הפיתול ואת תחומי הקעירות.
ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
✍️ פתרון תרגיל 2
סעיף א: חיתוך עם הצירים.
עם ציר y: f(0) = 0 ← (0 , 0)
עם ציר x:
3x⁴ − 4x³ = 0
x³(3x − 4) = 0
x = 0 או 3x = 4 ← x = 43
✅ (0 , 0) , (43 , 0)
✍️ פתרון תרגיל 2
סעיף ב: נקודות קיצון וסוגן.
📐 נגזרת של חזקה:
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
ונגזרת של מספר לבד היא 0
f′(x) = 12x³ − 12x² = 0
12x²(x − 1) = 0
x = 0 או x = 1
f(0) = 0
f(1) = 3 − 4 = −1
f′(−1) = −12 − 12 = −24 < 0
✍️ פתרון תרגיל 2 · המשך
f′(−1) = −12 − 12 = −24 < 0
f′(0.5) = 1.5 − 3 = −1.5 < 0
f′(2) = 96 − 48 = 48 > 0
x−100.512
f′(x)−0−0+
f(x)↘↘↘min↗
ב־x = 0 הנגזרת מתאפסת, אבל הפונקציה יורדת לפני ואחרי ← לא נקודת קיצון.
✅ (1 , −1) מינימום (נקודת הקיצון היחידה)
✍️ פתרון תרגיל 2
סעיף ג: תחומי עלייה וירידה.
לפי הטבלה:
✅ ירידה: x < 1
עלייה: x > 1
✍️ פתרון תרגיל 2
סעיף ד: נקודות פיתול ותחומי קעירות.
📐 נקודת פיתול:
f″(x) = 0 ← נקודה חשודה
f″ > 0 ← קעורה כלפי מעלה ∪
f″ < 0 ← קעורה כלפי מטה ∩
פיתול רק כשהקעירות מתחלפת
f″(x) = 36x² − 24x = 0
12x(3x − 2) = 0
x = 0 או x = 23
f″(−1) = 36 + 24 = 60 > 0 ← ∪
f″(0.5) = 9 − 12 = −3 < 0 ← ∩
✍️ פתרון תרגיל 2 · המשך
f″(0.5) = 9 − 12 = −3 < 0 ← ∩
f″(1) = 36 − 24 = 12 > 0 ← ∪
x−100.5231
f″(x)+0−0+
f(x)∪פיתול∩פיתול∪
מציבים בפונקציה המקורית:
f(0) = 0
f(23) = 3·1681 − 4·827
✍️ פתרון תרגיל 2 · המשך
f(23) = 3·1681 − 4·827
= 4881 − 9681 = −4881 = −1627
שימו לב: ב־(0 , 0) גם f′ = 0. זו נקודת פיתול עם משיק אופקי, ולכן היא לא נקודת קיצון (כמו שראינו בסעיף ב).
✅ פיתול (0 , 0) , (23 , −1627)
∪ : x < 0 , x > 23
∩ : 0 < x < 23
✍️ פתרון תרגיל 2
סעיף ה: סרטוט.
יורדת, "משתטחת" ב־(0 , 0), ממשיכה לרדת עד המינימום (1 , −1) ואז עולה:
xy(0,0)(4/3,0)(1,−1)
🔷 תרגיל 3
תרגיל 3: נתונה הפונקציה f(x) = −x³ + ax² + b , a ו־b הם פרמטרים. הנקודה (1 , 0) היא נקודת הפיתול של הפונקציה.
א. מצאו את a ואת b.
הציבו את הערכים שמצאתם, וענו על הסעיפים הבאים.
ב. מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר y.
ג. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.
ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת תחומי הקעירות.
ה. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודת הפיתול.
ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
ז. לאילו ערכי k למשוואה f(x) = k יש שלושה פתרונות?
✍️ פתרון תרגיל 3
סעיף א: מציאת a ו־b.
📐 נגזרת של חזקה:
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
ונגזרת של מספר לבד היא 0
f′(x) = −3x² + 2ax
f″(x) = −6x + 2a
תנאי 1: בנקודת פיתול f″ = 0:
f″(1) = −6 + 2a = 0
2a = 6 ← a = 3
תנאי 2: הנקודה (1 , 0) על הגרף:
✍️ פתרון תרגיל 3 · המשך
תנאי 2: הנקודה (1 , 0) על הגרף:
f(1) = −1 + 3·1² + b = 0
2 + b = 0 ← b = −2
בדיקה: f″(x) = −6x + 6 חיובית לפני 1 ושלילית אחרי, אז זו באמת נקודת פיתול.
הפונקציה: f(x) = −x³ + 3x² − 2
✅ a = 3 , b = −2
✍️ פתרון תרגיל 3
סעיף ב: חיתוך עם ציר y.
f(0) = −0 + 0 − 2 = −2
✅ (0 , −2)
✍️ פתרון תרגיל 3
סעיף ג: נקודות קיצון וסוגן.
f′(x) = −3x² + 6x = 0
−3x(x − 2) = 0
x = 0 או x = 2
f(0) = −2
f(2) = −8 + 12 − 2 = 2
f′(−1) = −3 − 6 = −9 < 0
f′(1) = −3 + 6 = 3 > 0
f′(3) = −27 + 18 = −9 < 0
✍️ פתרון תרגיל 3 · המשך
f′(3) = −27 + 18 = −9 < 0
x−10123
f′(x)−0+0−
f(x)↘min↗max↘
✅ (0 , −2) מינימום , (2 , 2) מקסימום
✍️ פתרון תרגיל 3
סעיף ד: עלייה, ירידה וקעירות.
עלייה וירידה לפי הטבלה מסעיף ג.
קעירות לפי f″(x) = −6x + 6:
f″(0) = 6 > 0 ← ∪
f″(2) = −6 < 0 ← ∩
✅ עלייה: 0 < x < 2
ירידה: x < 0 , x > 2
∪ : x < 1 ; ∩ : x > 1
✍️ פתרון תרגיל 3
סעיף ה: משוואת המשיק בנקודת הפיתול (1 , 0).
📐 שיפוע המשיק:
השיפוע של המשיק בנקודה שווה לנגזרת בנקודה: m = f′(x₁)
m = f′(1) = −3 + 6 = 3
📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע:
y − y₁ = m(x − x₁)
y − 0 = 3(x − 1)
y = 3x − 3
✅ y = 3x − 3
✍️ פתרון תרגיל 3
סעיף ו: סרטוט.
xy(0,−2)(2,2)(1,0)
✍️ פתרון תרגיל 3
סעיף ז: מספר פתרונות.
ישר אופקי y = k חותך את הגרף 3 פעמים כשהוא עובר בין המינימום y = −2 למקסימום y = 2.
✅ −2 < k < 2
🔷 תרגיל 4
תרגיל 4: נתונה הפונקציה f(x) = 6x² + 3. ענו על הסעיפים:
א. מצאו את תחום ההגדרה.
ב. הראו שהפונקציה זוגית.
ג. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.
ד. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה.
ה. מצאו את נקודות הקיצון, את סוגן ואת תחומי העלייה והירידה.
ו. מצאו את נקודות הפיתול ואת תחומי הקעירות.
ז. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
ח. לאילו ערכי k למשוואה f(x) = k יש בדיוק שני פתרונות?
✍️ פתרון תרגיל 4
סעיף א: תחום הגדרה.
x² ≥ 0 ← x² + 3 ≥ 3
המכנה אף פעם לא 0.
✅ כל x
✍️ פתרון תרגיל 4
סעיף ב: זוגיות.
📐 פונקציה זוגית:
f(−x) = f(x)
הגרף סימטרי לציר y
f(−x) = 6(−x)² + 3
= 6x² + 3 = f(x)
✅ הפונקציה זוגית
✍️ פתרון תרגיל 4
סעיף ג: חיתוך עם הצירים.
עם ציר y: f(0) = 63 = 2
עם ציר x: המונה 6 אף פעם לא 0 ← אין.
✅ (0 , 2) , ואין חיתוך עם ציר x
✍️ פתרון תרגיל 4
סעיף ד: אסימפטוטות.
אין x שמאפס את המכנה ← אין אסימפטוטה אנכית.
📐 אסימפטוטה אופקית לפי החזקות:
חזקה גבוהה במכנה גדולה יותר ← y = 0
חזקה גבוהה במונה גדולה יותר ← אין
חזקות שוות ← y = ab (מנת המקדמים)
החזקה הגבוהה במונה 0 (מספר), במכנה 2. המכנה גדול יותר.
✅ אסימפטוטה אופקית y = 0 , אין אנכית
✍️ פתרון תרגיל 4
סעיף ה: קיצון, עלייה וירידה.
📐 נגזרת מנה:
y = fg
y′ = f′·g − g′·fg²
המונה 6, נגזרתו 0. המכנה x² + 3, נגזרתו 2x.
f′(x) = 0·(x² + 3) − 2x·6(x² + 3)²
= −12x(x² + 3)²
−12x = 0 ← x = 0 ← (0 , 2)
המכנה חיובי, והסימן נקבע לפי −12x: חיובי כש־x < 0 ושלילי כש־x > 0.
✍️ פתרון תרגיל 4 · המשך
המכנה חיובי, והסימן נקבע לפי −12x: חיובי כש־x < 0 ושלילי כש־x > 0.
x−101
f′(x)+0−
f(x)↗max↘
✅ (0 , 2) מקסימום
עלייה: x < 0 ; ירידה: x > 0
✍️ פתרון תרגיל 4
סעיף ו: נקודות פיתול וקעירות.
📐 נקודת פיתול:
f″(x) = 0 ← נקודה חשודה
f″ > 0 ← קעורה כלפי מעלה ∪
f″ < 0 ← קעורה כלפי מטה ∩
פיתול רק כשהקעירות מתחלפת
גוזרים את f′(x) = −12x(x² + 3)² בנגזרת מנה. המונה −12x, נגזרתו −12.
📐 נגזרת של סוגריים בחזקה:
[(g(x))ⁿ]′ =
n·(g(x))ⁿ⁻¹·g′(x)
נגזרת המכנה: [(x² + 3)²]′ = 2(x² + 3)·2x
f″(x) = −12(x² + 3)²
− 2(x² + 3)·2x·(−12x)(x² + 3)⁴
מוציאים גורם משותף (x² + 3) במונה ומצמצמים:
✍️ פתרון תרגיל 4 · המשך
מוציאים גורם משותף (x² + 3) במונה ומצמצמים:
f″(x) = −12(x² + 3) + 48x²(x² + 3)³
= −12x² − 36 + 48x²(x² + 3)³
= 36x² − 36(x² + 3)³
משווים את המונה ל־0:
36x² − 36 = 0
x² = 1 ← x = 1 או x = −1
✍️ פתרון תרגיל 4 · המשך
x² = 1 ← x = 1 או x = −1
f(±1) = 61 + 3 = 32
המכנה חיובי, אז הסימן לפי המונה 36x² − 36:
x = −2 : 144 − 36 > 0 ← ∪
x = 0 : −36 < 0 ← ∩
x = 2 : 144 − 36 > 0 ← ∪
✍️ פתרון תרגיל 4 · המשך
x = 2 : 144 − 36 > 0 ← ∪
x−2−1012
f″(x)+0−0+
f(x)∪פיתול∩פיתול∪
✅ פיתול (−1 , 32) , (1 , 32)
∪ : x < −1 , x > 1
∩ : −1 < x < 1
✍️ פתרון תרגיל 4
סעיף ז: סרטוט.
"גבעה" סימטרית לציר y, שמתקרבת לציר x משני הצדדים ולא נוגעת בו:
xy(0,2)(1,1.5)
✍️ פתרון תרגיל 4
סעיף ח: מתי יש בדיוק שני פתרונות.
ערכי הפונקציה: גדולים מ־0 (המונה והמכנה חיוביים) ולכל היותר 2 (המקסימום).
ישר אופקי בין 0 ל־2 חותך את ה"גבעה" פעמיים, פעם מכל צד.
ב־k = 2 יש רק נקודה אחת (המקסימום), וב־k ≤ 0 אין בכלל.
✅ 0 < k < 2
🔷 תרגיל 5
תרגיל 5: נתונה הפונקציה f(x) = x² + 5x − 2. ענו על הסעיפים:
א. מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות של הפונקציה.
ב. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.
ג. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.
ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה.
ה. מצאו את תחומי הקעירות. האם יש לפונקציה נקודת פיתול? נמקו.
ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
ז. לאילו ערכי k למשוואה f(x) = k אין פתרון?
ח. נתונה הפונקציה g(x) = f(x + 2). מצאו את נקודות הקיצון של g(x) ואת האסימפטוטה האנכית שלה.
✍️ פתרון תרגיל 5
סעיף א: תחום הגדרה ואסימפטוטות.
x − 2 ≠ 0 ← x ≠ 2
המונה ב־x = 2: 4 + 5 = 9 ≠ 0 ← אסימפטוטה אנכית.
📐 אסימפטוטה אופקית לפי החזקות:
חזקה גבוהה במכנה גדולה יותר ← y = 0
חזקה גבוהה במונה גדולה יותר ← אין
חזקות שוות ← y = ab (מנת המקדמים)
החזקה הגבוהה במונה 2, במכנה 1 ← אין אסימפטוטה אופקית.
✅ תחום: x ≠ 2 ; אנכית: x = 2 ; אין אופקית
✍️ פתרון תרגיל 5
סעיף ב: חיתוך עם הצירים.
עם ציר y: f(0) = 5−2 = −2.5
עם ציר x: x² + 5 = 0 ← אין פתרון.
✅ (0 , −2.5) , ואין חיתוך עם ציר x
✍️ פתרון תרגיל 5
סעיף ג: נקודות קיצון וסוגן.
📐 נגזרת מנה:
y = fg
y′ = f′·g − g′·fg²
המונה x² + 5, נגזרתו 2x. המכנה x − 2, נגזרתו 1.
f′(x) = 2x(x − 2) − 1·(x² + 5)(x − 2)²
= 2x² − 4x − x² − 5(x − 2)²
= x² − 4x − 5(x − 2)²
x² − 4x − 5 = 0
✍️ פתרון תרגיל 5 · המשך
x² − 4x − 5 = 0
(x − 5)(x + 1) = 0
x = 5 או x = −1
f(5) = 25 + 53 = 10
f(−1) = 1 + 5−3 = −2
הסימן לפי המונה (המכנה בריבוע חיובי):
x = −2 : 4 + 8 − 5 = 7 > 0
✍️ פתרון תרגיל 5 · המשך
x = −2 : 4 + 8 − 5 = 7 > 0
x = 0 : −5 < 0
x = 3 : 9 − 12 − 5 = −8 < 0
x = 6 : 36 − 24 − 5 = 7 > 0
x−2−102356
f′(x)+0−✕−0+
f(x)↗max↘✕↘min↗
✅ (−1 , −2) מקסימום , (5 , 10) מינימום
✍️ פתרון תרגיל 5
סעיף ד: תחומי עלייה וירידה.
לפי הטבלה:
✅ עלייה: x < −1 , x > 5
ירידה: −1 < x < 2 , 2 < x < 5
✍️ פתרון תרגיל 5
סעיף ה: קעירות ונקודת פיתול.
📐 נגזרת מנה:
y = fg
y′ = f′·g − g′·fg²
גוזרים את f′(x) = x² − 4x − 5(x − 2)². נגזרת המונה 2x − 4.
📐 נגזרת של סוגריים בחזקה:
[(g(x))ⁿ]′ =
n·(g(x))ⁿ⁻¹·g′(x)
נגזרת המכנה: [(x − 2)²]′ = 2(x − 2)·1
f″(x) = (2x − 4)(x − 2)²
− 2(x − 2)(x² − 4x − 5)(x − 2)⁴
מצמצמים ב־(x − 2):
✍️ פתרון תרגיל 5 · המשך
מצמצמים ב־(x − 2):
f″(x) = (2x − 4)(x − 2)
− 2(x² − 4x − 5)(x − 2)³
פותחים סוגריים במונה:
(2x − 4)(x − 2) =
= 2x² − 8x + 8
−2(x² − 4x − 5) =
= −2x² + 8x + 10
✍️ פתרון תרגיל 5 · המשך
= −2x² + 8x + 10
מחברים:
2x² − 8x + 8 − 2x² + 8x + 10
= 18
f″(x) = 18(x − 2)³
המונה 18 אף פעם לא 0 ← f″ לא מתאפסת.
הסימן לפי (x − 2)³: חיובי כש־x > 2, שלילי כש־x < 2.
✍️ פתרון תרגיל 5 · המשך
הסימן לפי (x − 2)³: חיובי כש־x > 2, שלילי כש־x < 2.
הקעירות מתחלפת ב־x = 2, אבל שם הפונקציה לא מוגדרת (אסימפטוטה), ולכן זו לא נקודת פיתול.
✅ ∪ : x > 2 ; ∩ : x < 2
אין נקודת פיתול
✍️ פתרון תרגיל 5
סעיף ו: סרטוט.
xy(−1,−2)(5,10)
✍️ פתרון תרגיל 5
סעיף ז: מתי אין פתרון ל־f(x) = k.
הענף השמאלי (∩) מגיע לכל היותר ל־−2.
הענף הימני (∪) לא יורד מתחת ל־10.
ישר אופקי בין −2 ל־10 לא פוגש את הגרף.
✅ −2 < k < 10
✍️ פתרון תרגיל 5
סעיף ח: הפונקציה g(x) = f(x + 2).
📐 הזזה אופקית:
f(x + c) ← הגרף זז c יחידות שמאלה
f(x − c) ← הגרף זז c יחידות ימינה
הגרף של g הוא הגרף של f, מוזז 2 יחידות שמאלה: מחסירים 2 מכל ערך x, וה־y לא משתנה.
מקסימום: (−1 − 2 , −2) = (−3 , −2)
מינימום: (5 − 2 , 10) = (3 , 10)
אסימפטוטה אנכית: x = 2 − 2 = 0
בדיקה: g(x) = (x + 2)² + 5x , והמכנה מתאפס ב־x = 0.
✅ (−3 , −2) מקסימום , (3 , 10) מינימום
אסימפטוטה אנכית: x = 0
🔷 תרגיל 6
תרגיל 6: נתונה הפונקציה f(x) = xx² − 1. ענו על הסעיפים:
א. מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות של הפונקציה.
ב. הראו שהפונקציה אי־זוגית.
ג. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.
ד. הראו שלפונקציה אין נקודות קיצון, ומצאו את תחומי העלייה והירידה.
ה. מצאו את נקודות הפיתול ואת תחומי הקעירות.
ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
✍️ פתרון תרגיל 6
סעיף א: תחום הגדרה ואסימפטוטות.
x² − 1 ≠ 0 ← x ≠ ±1
המונה ב־x = ±1 הוא ±1 ≠ 0 ← אסימפטוטות אנכיות.
📐 אסימפטוטה אופקית לפי החזקות:
חזקה גבוהה במכנה גדולה יותר ← y = 0
חזקה גבוהה במונה גדולה יותר ← אין
חזקות שוות ← y = ab (מנת המקדמים)
החזקה הגבוהה במונה 1, במכנה 2. המכנה גדול יותר.
✅ תחום: x ≠ ±1
אנכיות: x = 1 , x = −1 ; אופקית: y = 0
✍️ פתרון תרגיל 6
סעיף ב: אי־זוגיות.
📐 פונקציה אי־זוגית:
f(−x) = −f(x)
הגרף סימטרי לראשית הצירים
f(−x) = −x(−x)² − 1 = −xx² − 1
= −xx² − 1 = −f(x)
✅ הפונקציה אי־זוגית
✍️ פתרון תרגיל 6
סעיף ג: חיתוך עם הצירים.
עם ציר y: f(0) = 0−1 = 0
עם ציר x: המונה x = 0.
✅ (0 , 0)
✍️ פתרון תרגיל 6
סעיף ד: אין קיצון; עלייה וירידה.
📐 נגזרת מנה:
y = fg
y′ = f′·g − g′·fg²
המונה x, נגזרתו 1. המכנה x² − 1, נגזרתו 2x.
f′(x) = 1·(x² − 1) − 2x·x(x² − 1)²
= x² − 1 − 2x²(x² − 1)² = −(x² + 1)(x² − 1)²
המונה: x² + 1 ≥ 1, ולכן −(x² + 1) תמיד שלילי. המכנה בריבוע תמיד חיובי.
לכן f′(x) < 0 בכל תחום ההגדרה: הנגזרת אף פעם לא 0 ← אין נקודות קיצון, והפונקציה יורדת בכל תחום.
✍️ פתרון תרגיל 6 · המשך
לכן f′(x) < 0 בכל תחום ההגדרה: הנגזרת אף פעם לא 0 ← אין נקודות קיצון, והפונקציה יורדת בכל תחום.
✅ אין נקודות קיצון
ירידה: x < −1 , −1 < x < 1 , x > 1
✍️ פתרון תרגיל 6
סעיף ה: נקודות פיתול וקעירות.
📐 נקודת פיתול:
f″(x) = 0 ← נקודה חשודה
f″ > 0 ← קעורה כלפי מעלה ∪
f″ < 0 ← קעורה כלפי מטה ∩
פיתול רק כשהקעירות מתחלפת
גוזרים את f′(x) = −(x² + 1)(x² − 1)². נגזרת המונה: −2x.
📐 נגזרת של סוגריים בחזקה:
[(g(x))ⁿ]′ =
n·(g(x))ⁿ⁻¹·g′(x)
נגזרת המכנה: [(x² − 1)²]′ = 2(x² − 1)·2x
f″(x) = −2x(x² − 1)²
− 2(x² − 1)·2x·(−x² − 1)(x² − 1)⁴
מצמצמים ב־(x² − 1):
✍️ פתרון תרגיל 6 · המשך
מצמצמים ב־(x² − 1):
f″(x) = −2x(x² − 1)
+ 4x(x² + 1)(x² − 1)³
= −2x³ + 2x + 4x³ + 4x(x² − 1)³
= 2x³ + 6x(x² − 1)³
f″(x) = 2x(x² + 3)(x² − 1)³
משווים את המונה ל־0:
✍️ פתרון תרגיל 6 · המשך
משווים את המונה ל־0:
2x(x² + 3) = 0
x² + 3 תמיד חיובי, ולכן רק x = 0
בטבלה שמים את 0 ואת האסימפטוטות ±1. בודקים סימן מונה ומכנה:
x = −2 : −+ < 0 ← ∩
x = −0.5 : −− > 0 ← ∪
x = 0.5 : +− < 0 ← ∩
✍️ פתרון תרגיל 6 · המשך
x = 0.5 : +− < 0 ← ∩
x = 2 : ++ > 0 ← ∪
x−2−1−0.500.512
f″(x)−✕+0−✕+
f(x)∩✕∪פיתול∩✕∪
הקעירות מתחלפת ב־0, ו־f(0) = 0.
✅ פיתול (0 , 0)
∪ : −1 < x < 0 , x > 1
∩ : x < −1 , 0 < x < 1
✍️ פתרון תרגיל 6
סעיף ו: סרטוט.
שלושה ענפים יורדים. הגרף סימטרי לראשית הצירים, ועובר ב־(0 , 0):
xy(0,0)
🔷 תרגיל 7
תרגיל 7: נתונה הפונקציה f(x) = x² + ax² − 4 , a הוא פרמטר. גרף הפונקציה חותך את ציר y בנקודה (0 , −2).
א. מצאו את a.
הציבו את הערך שמצאתם, וענו על הסעיפים הבאים.
ב. מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות, וקבעו אם הפונקציה זוגית.
ג. האם לגרף יש נקודות חיתוך עם ציר x?
ד. מצאו את נקודות הקיצון, את סוגן ואת תחומי העלייה והירידה.
ה. מצאו את תחומי הקעירות. האם יש לפונקציה נקודות פיתול?
ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
ז. לאילו ערכי k הישר y = k לא חותך את גרף הפונקציה?
✍️ פתרון תרגיל 7
סעיף א: מציאת a.
הנקודה (0 , −2) על הגרף:
f(0) = 0 + a0 − 4 = −2
a−4 = −2 / ·(−4)
a = 8
הפונקציה: f(x) = x² + 8x² − 4
✅ a = 8
✍️ פתרון תרגיל 7
סעיף ב: תחום, אסימפטוטות וזוגיות.
x² − 4 ≠ 0 ← x ≠ ±2
המונה ב־x = ±2: 4 + 8 = 12 ≠ 0 ← אסימפטוטות אנכיות.
📐 אסימפטוטה אופקית לפי החזקות:
חזקה גבוהה במכנה גדולה יותר ← y = 0
חזקה גבוהה במונה גדולה יותר ← אין
חזקות שוות ← y = ab (מנת המקדמים)
חזקות שוות (2 ו־2), המקדמים 1 ו־1 ← y = 1
📐 פונקציה זוגית:
f(−x) = f(x)
הגרף סימטרי לציר y
✍️ פתרון תרגיל 7 · המשך
📐 פונקציה זוגית:
f(−x) = f(x)
הגרף סימטרי לציר y
f(−x) = (−x)² + 8(−x)² − 4 = f(x)
✅ תחום: x ≠ ±2
אנכיות: x = ±2 ; אופקית: y = 1
הפונקציה זוגית
✍️ פתרון תרגיל 7
סעיף ג: חיתוך עם ציר x.
x² + 8 = 0 ← x² = −8 ← אין פתרון.
✅ אין חיתוך עם ציר x
✍️ פתרון תרגיל 7
סעיף ד: קיצון, עלייה וירידה.
📐 נגזרת מנה:
y = fg
y′ = f′·g − g′·fg²
המונה x² + 8, נגזרתו 2x. המכנה x² − 4, נגזרתו 2x.
f′(x) = 2x(x² − 4)
− 2x(x² + 8)(x² − 4)²
= 2x³ − 8x − 2x³ − 16x(x² − 4)²
= −24x(x² − 4)²
−24x = 0 ← x = 0 ← (0 , −2)
✍️ פתרון תרגיל 7 · המשך
−24x = 0 ← x = 0 ← (0 , −2)
הסימן לפי −24x: חיובי כש־x < 0, שלילי כש־x > 0.
x−3−2−10123
f′(x)+✕+0−✕−
f(x)↗✕↗max↘✕↘
✅ (0 , −2) מקסימום
עלייה: x < −2 , −2 < x < 0
ירידה: 0 < x < 2 , x > 2
✍️ פתרון תרגיל 7
סעיף ה: קעירות ונקודות פיתול.
📐 נגזרת מנה:
y = fg
y′ = f′·g − g′·fg²
גוזרים את f′(x) = −24x(x² − 4)². נגזרת המונה −24.
📐 נגזרת של סוגריים בחזקה:
[(g(x))ⁿ]′ =
n·(g(x))ⁿ⁻¹·g′(x)
נגזרת המכנה: [(x² − 4)²]′ = 2(x² − 4)·2x
f″(x) = −24(x² − 4)²
− 2(x² − 4)·2x·(−24x)(x² − 4)⁴
מצמצמים ב־(x² − 4):
✍️ פתרון תרגיל 7 · המשך
מצמצמים ב־(x² − 4):
f″(x) = −24(x² − 4) + 96x²(x² − 4)³
= 72x² + 96(x² − 4)³
המונה 72x² + 96 תמיד חיובי ← f″ לא מתאפסת ← אין נקודות פיתול.
הסימן לפי (x² − 4)³:
x = 0 : (0 − 4)³ < 0 ← ∩
x = ±3 : (9 − 4)³ > 0 ← ∪
✍️ פתרון תרגיל 7 · המשך
x = ±3 : (9 − 4)³ > 0 ← ∪
✅ ∪ : x < −2 , x > 2
∩ : −2 < x < 2
אין נקודות פיתול
✍️ פתרון תרגיל 7
סעיף ו: סרטוט.
באמצע: "כיפה" (∩) שהשיא שלה (0 , −2). בצדדים: ענפים (∪) מעל y = 1 שמתקרבים אליו.
xy(0,−2)
✍️ פתרון תרגיל 7
סעיף ז: מתי הישר y = k לא חותך את הגרף.
בין האסימפטוטות: הערכים לכל היותר −2 (המקסימום).
בצדדים הגרף מעל y = 1. האם הוא נוגע ב־1? בודקים:
x² + 8x² − 4 = 1
x² + 8 = x² − 4
8 = −4 ← אין פתרון.
לכן גם k = 1 לא חותך, אבל k = −2 כן (נוגע במקסימום).
✅ −2 < k ≤ 1

📌 לזכור

💡 f′ קובעת עלייה וירידה, ו־f″ קובעת קעירות. נקודה שבה הנגזרת מתאפסת היא רק חשודה: בודקים שהסימן מתחלף. ובפונקציית מנה, החלפת סימן באסימפטוטה אינה נקודת קיצון ואינה נקודת פיתול, כי שם הפונקציה לא מוגדרת.
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא